Propriétés des matériaux / logiciels de simulation

Résumé de la théorie des poutres

Hypothèses

On étudie ici le comportement d'une "poutre" dans le sens d'un volume dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses. De plus on se place dans le cadre d'un matériau homogène isotrope dont le comportement est élastique isotrope (la formule de Young relie localement la contrainte à la déformation).

Hypothèse de Navier: on suppose que les sections droites restent planes (pas de gauchissement).

Hypothèse de Bernoulli: on considère de plus que les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne lors de la déformation.

Ces deux hypothèses reviennent à négliger le cisaillement et perdent de leur pertinence si la longueur du volume considéré est courte par rapport aux dimensions transverses (donc plus une "poutre" telle que définie ci-dessus).

Principe de Saint-Venant: On considère que la contrainte est constante sur toute la largeur d'une section. Même si la force est appliquée en un seul point il suffi de s'éloigner de la section d'application de la force pour que le principe de Saint-Venant soit à nouveau valide.

Les hypothèses ci-dessus sont donc vérifiées si:

• la poutre est suffisamment élancée (beaucoup plus longue que large)
• elle ne présente aucune variation brutale de section
• sa courbure est faible ou nulle
• les déformations restent faibles.

Formules pour la flèche et la déformée

La flèche correspond au déplacement maximal et la déformée donne l'équation de la ligne moyenne.

Définitions:

E = module de Young
I = moment quadratique de la section
L = longueur de la poutre
F = force appliquée

Cas	Flèche	Déformée
Poutre encastrée
Poutre encastrée avec charge uniformément répartie (par exemple son propre poids)
Poutre sur deux appuis, charge au centre
Poutre sur deux appuis avec charges uniformément répartie (par exemple son propre poids)

Répartition des contraintes (Equivalent de von Mises)

Poutre encastrée:

Poutre encastrée avec charge uniformément répartie:

Poutre sur deux appuis avec charge au centre:

Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie:

Déformation de la poutre sous l'effet de sa propre masse

On regarde ce cas sur une poutre dans la section est plus fine afin de mettre en évidence la déformation due au propre poids de la poutre:

Cas des poutres à section non-constante

On souhaite regarder la répartition des contraintes dans une poutre dont la section évolue sur sa longueur. Le but ultime étant généralement d'obtenir une meilleure distribution des contraintes.

Cas d'une poutre de 20mm de longueur

On regarde quatre géométrie avec une section qui diminue graduellement sur toute la longueur de la poutre.

Voici les condition de bords et de charge sur la poutre:

Répartition des contrainte (équivalent von Mises) pour un déplacement équivalent (3 mm) de l'extrémité:

La troisième variante géométrique offre une répartition des contraintes plus homogène sur toute la longueur de la poutre. La force de réaction à l'extrèmité est alors moindre que pour les variantes 1 et 2.

Cas d'une poutre de 40mm de longueur

Le même calcul sur un jeu de poutre plus long (40mm) donne les résultats suivants:

Le paramètre important pour la répartition des contraites est clairement le rapport entre les sections initiale/finale, et non l'angle de conicité de la poutre.