Comportement mécanique des matériaux

1. Introduction
2. Contraintes et déformations
3. Relation entre la contrainte et la déformation
4. Cercles de Mohr
5. Comportement élastique
6. Dilatation thermique
7. Plasticité - I
8. Plasticité - II
9. Plasticité - III (en préparation)
10. Tests mécaniques

Annexe: Table des modules de Youg et coefficients de Poisson - Table des coefficients de dilatation thermique - Table des limites élastiques

Comportement mécanique des matériaux - Comportement plastique (partie 1)

Généralités

Lorsque la contrainte dans un matériau est augmentée au-delà d'une certaine valeur, dite limite élastique ("yield point" en anglais) la déformation se poursuit selon un processus physique différent correspondant au domaine "plastique".

D'un point de vue macroscopique le domaine plastique n'est plus réversible, l'annulation de la contrainte ne provoque qu'un retrait partiel du matériau, équivalent uniquement à la partie élastique de la déformation. Par contre la partie de déformation plastique reste en l'état.

Pour décrire macroscopiquement la déformation plastique il faut connaître deux caractéristiques de base:

Limite élastique et critères de plasticité

Dans le cas d'un test de traction standard (quasi unidimensionnel) la limite élastique est la valeur de la contrainte à partir de laquelle le matériau commence à se déformer plastiquement. Le passage d'un régime élastique à un régime plastique dans l'éprouvette se fait généralement avec une petite inhomogénéité qui provoque un "arrondi" entre la partie élastique et plastique de la courbe σ(ε).

De manière plus générale, les critères de plasticité (yield criteria) permettent de déterminer si, dans un état de contrainte tridimensionnel donné (définit par le tenseur des contraintes σ , le matériau va rester dans le domaine élastique ou initier une déformation plastique. La forme mathématique générale pour un tel critère s'écrit:

Pour un matériau isotrope le critère peut s'exprimer en fonction des contraintes principales:

Si l'on considère que la plasticité est due à un processus de glissement des plans cristallins et/ou de mâclage alors le critère sera essentiellement basé sur les composantes de cisaillement (σ_i,j).

Critère de Tresca ou critère du cisaillement maximal

Le critère le plus simple, proposé par Tresca, prévoit l'apparition d'une déformation plastique lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint un seuil:

Un test de traction uniaxial (σ₂ = σ₃=0) est un cas particulier qui permet de trouver une valeur pour la limite de Tresca. Dans le cas uniaxial le critère de Tresca s'écrit:

En notant Y la valeur de contrainte à partir de laquelle le déformation plastique commence on obtient:

Ainsi, de manière générale, le critère de Tresca s'écrit:

En terme de représentation de Mohr on obtient les surfaces limites suivantes:

La représentation de la surface limite de Tresca en 3D met particulièrement en évidence le fait que seule la contrainte de cisaillement la plus élevée intervient (σ_{cisaillement max.} = σ₁ - σ₃) indépendamment des valeurs de σ₁ et σ₃.

En pratique ceci signifie que sous une pression hydrostatique (σ₂ = σ₂ = σ₃) le critère de Tresca prévoit que le matériau reste dans le domaine élastique quel que soit la valeur de cette pression.

De plus, avec le critère de Tresca la contrainte principale intermédiaire σ₂ n'intervient pas.

Il semble raisonnable de considérer un critère qui tient compte de la contrainte principale moyenne, c'est le cas du critère de Von Mises.

Critère de von Mises

Ce critère compare la valeur du deuxième invariant du tenseur déviateur des contraintes (J₂) avec une valeur de seuil C. La plasticité commence lorsque:

On trouve l'interprétation physique du critère de von Mises dans la relation qui lie J₂ (le deuxième invariants du déviateur des contraintes) à l'énergie de distorsion emmagasinée dans le matériau W_D :

Donc le critère de von Mises indique que la plasticité débute lorsque l'énergie de distorsion dépasse une certaine valeur.

Graphiquement, dans la représentation de Mohr, le critère de von Mises revient à dire que le diamètre moyen des trois cercles de Mohr est supérieur à une valeur seuil:

Voici l'allure de la surface de von Mises dans la représentation de Mohr:

On note que, tout comme la représentation du critère de Tresca, celle de von Mises a une forme tubulaire infinie liée à l'absence de restrictions sur la valeur de la pression hydrostatique.

Autres critères

Mohr-Coulomb

Le critère de Mohr-Coulomb est similaire au critère de Tresca à la différence près qu'il considère des seuils différents pour les cas en compression et en tension.

Drucker-Prager

Le critère de Drucker-Prager est similaire au critère de von Mises, cependant il utilise des seuils différents pour les cas en compression et en tension.

Bresler-Pister

Ce critère est une variante du critère de Drucker-Prager qui intègre un paramètre supplémentaire lié à la compression hydrostatique.

William-Warnke

Il s'agit de la variante du critère de Mohr-Coulomb qui intègre un paramètre lié à la compression hydrostatique.

Valeurs expérimentale de limites élastiques

Un tableau en annexe donne une série de valeur expérimentales des limites élastiques pour des matériaux courants. Ces valeurs sont généralement tirées d'essais de traction effectués sur des éprouvettes normalisées.

Voir le tableau des limites élastiques.

Notations

Pour simplifier l'écriture on utilise souvent la notation suivante:

• ε_i pour ε_ii et σ_i pour σ_ii
• γ_ij pour 2ε_ij et τ_ij pour σ_ij

où i e j représentent x, y et z.
Attention à ne pas confondre avec les composantes principales qui prennent les indices 1,2 et 3.