1. Introduction
2. Généralités
3. Comportement cyclique
4. Durée de vie en fatigue oligocyclique
5. Durée de vie en fatigue - Endurance
6. Paramètres influençant la durée de vie en fatigue
7. Expression mathématique de la durée de vie - Approche en contrainte
8. Expression mathématique de la durée de vie - Approche en déformation
9. Endurance multiaxiale
10. Propagation des fissures de fatigue
11. Analyse de tolérance aux dommages

Fatigue des structures - Endurance multiaxiale

Pour l’étude d’endurance sur des composants mécanique, la détermination des diagrammes de type Goodman, Haigh ne peut pas se borner au cas de chargements simples (traction, torsion,…). Les états de contraintes sont multiaxiaux pour différentes raisons liées à :
- La géométrie de la structure
- L’existence de contraintes résiduelles
- La nature du chargement

On cherche alors à définir une « contrainte équivalente » que l’on pourra comparer à la limite d’endurance définie avec un chargement simple. Il s’agit donc d’une généralisation de la notion de limite d’endurance au cas multiaxial.

Effets des contraintes statiques

Pour généraliser la notion de limite de fatigue au cas multiaxial on doit au-moins considérer l’introduction d’un deuxième paramètre de chargement (en plus d’une traction, torsion, flexion pur). Sur la base de nombreuses études expérimentales on peut faire deux constats :

1) En-dessous d’une certaine valeur, un cisaillement moyen n’influence pas la limite de fatigue en traction, flexion ou torsion.

2) Une contrainte moyenne de traction a un effet négatif linéaire sur la limite de fatigue en traction et en torsion. Une contrainte moyenne de compression à un effet positif linéaire sur cette même limite en fatigue.

Ces deux observations restent valables dans le cas d’un comportement purement élastique du matériau.

Type de chargements multiaxiaux

• Chargement périodique : la courbe parcourue dans l’espace des contraintes parcours une boucle sur un temps T. Pour chaque élément du tenseur des contraintes on a donc
  Σ_ij(t+nT) = Σ_ij(t).
• Chargement périodique affine : la courbe représentative de ce chargement est un segment de droite dans l’espace des contraintes
• Chargement périodique affine radial : la courbe représentative de ce chargement est un segment porté par une droite passant par l’origine de l’espace des contraintes. La particularité du chargement affine radial c’est d’avoir un tenseur des contraintes avec des directions principales qui restent fixes.

Quelques définitions relatives au tenseur des contraintes

Décomposition du tenseur en une partie déviatorique et une partie sphérique :

Σ = Σ + 1/3 tra(Σ)I

Trace : tra(Σ) est le premier invariant du tenseur des contraintes:

tra(Σ) = Σ_xx + Σ_yy + Σ_zz

Contrainte hydrostatique:

Σ_H = 1/3 tra(Σ)

Second invariant du tenseur déviateur :

J₂ = ½ ((tr(Σ)² – tr(ΣΣ))

La propriété des invariants de tenseurs est de ne pas dépendre de l’orientation du système de coordonnées. Le deuxième invariant apparaît dans la définition de nombreux critères abordés ci-dessous.

Critères empiriques d’endurance multiaxiale

Dans le cas de chargements simples (torsion, traction) on a défini des critères empiriques, i.e. des limites dans l’espace de contraintes qui définisse les frontières de la rupture à un nombre de cycle donné.. Par exemple sur le plan sa, sm nous avons mentionné précédemment un certain nombre de ces limites empiriques, dont les courbes de Gerber, Soderberg ou Goodman. Dans le cas d’un chargement multiaxial la définition de tels critères empiriques n’est pas une démarche courante.

Critère d’endurance multiaxiale – de type Tresca

Dans cette famille de critère le paramètre principal est une contrainte de cisaillement. Cette caractéristique provient du fait que dans le stade I de propagation des fissures cette dernière se fait dans un plan de cisaillement. Cependant la contrainte normale sur le plan de cisaillement exerce également une influence sur la propagation d’une fissure. Une tension normale au plan de cisaillement va favoriser la formation et la propagation d’un fissure, alors qu’un contrainte en compression aura un effet bénéfique.

Ainsi on défini une contrainte équivalente qui est une combinaison entre les contraintes de cisaillement et contrainte normale à un même plan, appelé plan critique.

Les différents critères se distinguent par le choix de la contrainte équivalente et le choix du plan critique.

Exemples : critère de Findley, critère de Matake, critère de Mc Diarmid

Critères de type von Mises

Les critères de cette famille sont exprimés en fonction de la racine carrée de J2, le second invariant du déviateur des contraintes. Ces critères sont généralement basés sur des principes énergétiques ou sur des considérations de type Tresca (cf. paragraphe précédant).

Exemples : critère de Sines , critère de Crossland

Approche mésoscopique

L’amorçage d’une fissure apparaît au niveau des grains, à l’échelle mésoscopique. Or entre grains de la même région les conditions de contraintes peuvent varier sensiblement suivant leur orientation, la présence de joints de grains, d’inclusions, etc… Un état de contrainte calculé (analytiquement ou par éléments finis) ou mesuré macroscopiquement représente des valeurs moyennes, que l’on peut noter Σ, Ε et qui s’appliquent à un volume fini V(x) à la position x. L’amorce d’une fissure dépend non de l’état de contrainte moyen, mais des contraintes locales σ, ε. Il est donc nécessaire de déterminer les variations locales autour de l’état moyen Σ, Ε.

Cette tâche est difficile et elle se base uniquement sur des hypothèses simples, par exemple celle qui veut qu’avant l’amorçage le matériau s’adapte élastiquement à toutes les échelles.

La relation de passage, dans l’hypothèse d’une adaptation du matériau à toutes les échelles, entre contraintes macroscopiques (Σ, Ε) et mésoscopiques (σ, ε) se fait à l’aide du tenseur de localisation des contraintes A(y)

D’autre part le tenseur des contraintes mésoscopiques σ peut se décomposer de la manière suivante :

• Une première composante σ^el(x,y) correspond à la contrainte fictive qui existerait si le milieu était parfaitement et continument élastique. On peut déduire cette valeur de Σ(x) et de la position y de la zone considérée.
• La deuxième composante σ^res(x,y) est la contrainte résiduelle ; elle est auto-équilibrée sur le volume V(x).
  

Cette approche mésoscopique se focalise sur l’amorçage des fissures, elle est donc utilisée dans le cas où le temps d’amorçage d’une fissure constitue l’essentiel de la durée de vie, i.e. le cas de la fatigue à grand nombre de cycles.

Exemple  de modèles basés sur l’approche mésoscopique :
Modèle de Lin-Taylor, Critère de Dang Van, Critère de P